前言

自从Markowitz提出均值-方差准则下的资产组合理论，方差作为风险度量的一种度量方式，得到了广泛应用，这一次我们和大家分享一个风险度量方法VaR,它作为风险度量的含义比方差更加直观。

什么是VaR

在很多时候，我们将方差作为风险度量的工具，它将资产价格的正向逆向变动都视为了风险，但是在实际中生活中，只有资产价格的逆向变动对投资来说才算是真正意义上的风险，正向变动是投资者获得的额外收益，我们并不想去最小化这部分的“风险”。因此，我们需要对方差这个风险度量进行改进，而VaR正好满足这方面的改进的要求。VaR，全称是Value-at-Risk。它的明确定义是：在市场正常波动下，给定执行水平p，资产在未来持有期T内可能遭受的最大损失值，用数学语言表达就是：P（X VaR）=1-p

其中X表示资产在持有期T内的损益，正代表盈利；负代表亏损。

如何计算VaR

这时，我们假设资产的市场价值为V0。经过未来持有期T，期末的市场价值为VT（V0（1 R）），在置信水平p下，未来持有期T的最小收益率为R*，则期末的市场价值最低为VT*（V0（1 R*））。此时VaR就可以表示成: VaR=V0-VT*= -V0R*，这个公式称为绝对VaR。

如果是以VT的期望为参照来表示： VaR=E(VT)-VT*=V0E(R)-V0R*,这个公式则称为相对VaR。

现在我们已经得到了收益率与VaR之间的关系，我们只要找到收益率的分布函数或者分布律，便可以求解出VaR了。求解VaR主要有三种方法：方差-协方差法、历史模拟法以及蒙特卡洛模拟法。

方差-协方差法

假定资产的收益率R不管是过去还是未来，都是独立同分布的，方差-协方差方法就是事先假定R服从某一分布，如正态分布或者t分布等等，然后借助历史数据估计未来收益率R的分布，具体的步骤如下：

• 确定持有期T、观察期N和置信水平p。
• 假定R服从某一分布，接着我们使用观察期内的N个收益率数据对分布函数的参数进行估计，比如矩估计、极大似然估计等等。
• 计算R*，通过参数估计后，我们也获得了R的概率密度函数f(x)，根据R*的定义，我们可以得知R*就是R的概率分布的下分位数Z1-p。
• 计算出了R*，根据绝对VaR与相对VaR的计算公式，我们直接将数据代入公式即可。

历史模拟法

历史模拟法与方差-协方差一样的假定一样，同样假定收益率都是独立同分布的，而且都是通过借助历史数据来推断未来收益率R的分布。但有一点不同的是，历史模拟法无需假定R的具体分布，而是将R看作是离散型的随机变量来计算计算，具体的步骤如下：

• 确定持有期T、观察期N和置信水平p 。
• 计算R*：假设我们收集了N个收益率数据，收益率数据相当于服从均匀分布：P(R=Ri)=1/N 。根据R*的定义，用公式可以表达为：

• 将N个收益率数据从小到大进行排序，第N(1 P)个收益率数据就是我们要找的R*。
• 求出了R*，代入公式就可计算出绝对VaR以及相对VaR。

蒙特卡洛模拟法

蒙特卡罗模拟法假定资产的市场价值服从某一具体的随机过程，在这里我们假设其满足几何布朗运动，单位时间的期望收益率为u，单位时间的标准差为σ,则有：

其中Vt为时刻t的市场价值，ε是随机数，服从标准正态分布。

将上述公式进行离散化：

我们将持有期T看作是若干个小的时间段累积起来的，有Δt=T/N。资产的初期价值为V0，经过一个小时间段的变化之后价值为：

经过两个小时间段的变化就为：

以此类推，经过了N个小时间段之后，资产的期末价值为：

这样就生成了VT的一种可能值。

我们对VT模拟若干次，然后在置信水平p下，将若干个VT从小到大进行排序，取第N(1-p)个数便是VT*，在这一点上，与上面说的历史模拟法有着异曲同工之妙。最后我们把数据代入公式，就求出了相对VaR以及绝对VaR。

VaR的应用

在投资中，有人是风险爱好者，喜欢在高风险中获取更高的超额收益；有人是风险厌恶者，喜欢稳定的收益。而VaR作为一种风险评价指标，可以帮助我们进行仓位控制，赚取稳定的低回撤的收益。

我们以一个经典的二八轮动策略举例子，策略逻辑很简单：

如果沪深300指数过去20天收益率大于中证500指数且沪深300指数收益率大于0，持有沪深300ETF；反之持有中证500指数ETF；若沪深300指数和中证500指数过去20天收益率均小于0，则全仓买入银华日利货币基金。在买入ETF时，我们会计算ETF的VaR值，根据VaR进行仓位控制，剩余的仓位买入银华日利货币基金。从2014年1月1日开始回测，策略回测曲线图如下：

可以看到，在风险评价指标VaR的帮助下，策略的曲线还是比较稳定的，在18年慢熊的市场环境下，策略虽然回撤14个点，这其中固然有策略失效的原因，但相比较指数的大幅下滑，还是可以说明VaR还是能够帮助我们控制风险，降低回撤。

VaR的不足

虽然VaR计算简便，作为风险度量的含义非常直观，被金融领域广泛应用，但是它也具有一些不足的地方。比如VaR有以下性质：

• 平移不变性： 满足VaR(X a)=VaR(X) a
• 正齐次性： h0，VaR(hX)=hVaR(X)
• 单调性：XY，VaR(X)VaR(Y)

而Philippe Artzner等人在1998年提出的一致风险度量的概率，要求风险度量方法需满足平移不变性、次可加性、正齐次性以及单调性四个性质。标准差不具有上述的单调性以及平移不变性；VaR满足了以上三个性质，由于它不具有次可加性，所以它也不是一致风险度量。但是我们对VaR度量进行适当的修改，就可使其成为一致风险度量，这个值就是C-VaR，这个我们后续再与大家分享。

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